Download Algorithmische Geometrie: Grundlagen, Methoden, Anwendungen by Rolf Klein PDF

By Rolf Klein

Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen nächsten Nachbarn? Wie lässt sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung?

Mit solchen und ähnlichen Fragen beschäftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen stürmischen Verlauf genommen hat.

Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in häufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe Hülle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie höherdimensionale Datenstrukturen.

Die vorliegende zweite Auflage wurde gründlich überarbeitet. Sie enthält über 60 Übungsaufgaben mit Lösungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die Möglichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.

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Also ist e = v − d, und durch Einsetzen dieser Gleichung und f = 1, c = 1 in die Eulersche Formel v − e + f = c + 1 ergibt sich d = 1. Jeder Teilbaum T von G enth¨alt also genau eine doppelt orientierte Kante. 2 bezeichne mi die Anzahl der Kanten auf dem Rand der i-ten Fl¨ache. Dann muß stets mi ≥ 3 gelten, weil G schlicht und nicht leer ist. Also ist f mi ≤ 2e. 3f ≤ i=1 (ii) Wir nehmen an, daß der Graph G zusammenh¨angend ist; andernfalls werden seine Zusammenhangskomponenten einzeln betrachtet.

9 Seien P und Q zwei einander schneidende konvexe Polygone mit m bzw. n Kanten. Wie viele Kanten kann das Polygon P ∪ Q h¨ochstens besitzen? F¨ ur eine beliebige Teilmenge A des IRd ist K ch(A) = K⊇A K konvex konvexe H¨ ulle die kleinste konvexe Menge, die A enth¨alt. Sie wird die konvexe H¨ ulle von A genannt. 11 sind zwei Beispiele konvexer H¨ ullen abgebildet. 2 Ein paar Grundbegriffe taugt unsere Definition nat¨ urlich nicht. Wir werden aber sp¨ater effiziente Algorithmen zur Konstruktion von konvexen H¨ ullen endlicher Punktmengen kennenlernen.

Xn ) mit einer Kosteneinheit berechnet werden. 5 f¨ ur das algebraische Modell beweisen. Damit bleiben alle unsere Folgerungen auch in diesem Modell g¨ ultig. Prinzip der Reduktion Mannigfaltigkeit algebraisches Modell 41 42 Kapitel 1 Grundlagen all nearest neighbors n¨ achster Nachbar Der Vollst¨andigkeit halber sei bemerkt, daß die Hinzunahme der trunc-Funktion zum Befehlsvorrat der REAL RAM gestattet, n reelle Zahlen, die jeweils gleichverteilt im Intervall [0, 1] gew¨ahlt wurden, im Mittel in Zeit O(n) zu sortieren; im algebraischen Modell ist das nicht m¨oglich.

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